기사/공사필기 해당 파트의 입체각은 반구의 입체각인 2π가 적용되기 위한 유도과정에 관하여

다음 본문의 유도과정처럼 진행해도 되는지 궁금합니다. 특히, 다음 세 부분에 대해서 오류를 범하지 않는지 궁금합니다.

•첨부사진의 오른쪽 위의 그림 상에서 [3] 문단의 내용처럼 '반구'를 그려도 되는가?

•θ=π의 값을 취할 때, φ의 적분 구간은 [0,π]을 취해도 되는가?

•마찬가지로 [4] 문단의 내용처럼 적분 범위를 바꿔도 괜찮은가?

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이하는 질문이 생기게 된 계기와 그 과정에 대한 본문입니다.

[1]교재의 해당 파트에서, 현재 조건(무한한 평면 형태의 전기이중층 양면)에서 '입체각'을 구할 때에, 이재현 원장님의 관련 강의 영상(링크 1 참고)의 7:00~7:10구간에서 "입체각 ω는 2π를 대입할 수 있다."라고 언급하셨습니다. 그리고 해당 영상의 댓글에 어떤 분이 "왜 2π를 대입하는지 모르겠다."는 질문에 원장님은 "반구의 입체각을 곱하기 때문에 2π이다."라고 하셨습니다.

[2]그래서 이 상황을 보고선 저는 다음과 같은 생각을 하였습니다. 결과적으로 2π의 값을 가지는 (입체각 ω=A/(r^2))를 유도할 때에, 먼저 (구면좌표계를 이용한 미소 면적 dA= r^2 sinθ dθ dφ)에 (r^2)를 나눔으로써 얻는 값인 (미소 입체각 dω= sinθ dθ dφ)을 각 축 성분인 θ, φ에 대하여 정적분의 범위를 각각 정할 때에, 앞서 서술한 '반구의 입체각이 2π라면, 고각(θ)은 180도 이므로 θ=π를 대입할 수 있다.'는 원장님의 말씀에 따라 θ의 적분범위는 [0, π]의 값을 취해야 함을 알 수 있구나 하고 말입니다. 그러고 나서 저는, '그러면 이때, φ의 적분 범위는 어떻게 해야 ω=2π를 만족할 수 있을까?' 하고 궁금증이 생겼습니다.

[3]그래서 잠시 머릿속으로 그림을 그려봤습니다. '일단 θ=π 값을 취하니까 θ축으로부터 좌우로 2/π 만큼 벌어지면서 그리는 호의 모양으로 보자니, 마치 아주 얇은 반원 모양의 부채의 형태를 띄고 있구나. 그러면 이 부채를 φ(방위각)=π만큼 φ축에 대하여 회전시켜야지, 그러면 반구의 모양이 되지 않을까?' 그래서 미소 입체각 dω를 θ는 [0,π], φ는 [0,π]에 대하여 적분을 취해주니 2π가 나왔습니다.

[4]처음에 가장 이해가 되지 않았던 부분은 역시 왜 θ=π인가? 였습니다. 저는 처음에 적분 범위를 θ [0,π/2], φ [0,2π]로 해야하는 것 아닌가 하는 생각이었기 때문입니다. 이것이 맞는지는 모르겠으나, 제가 이렇게 적분범위를 주고 계산해 보니 결국 같은 값인 2π가 나오는 것 같습니다.