안녕하세요, 답변드립니다.

1. K는 비례 상수 또는 비례 이득을 의미합니다. 제어 시스템에서 목표하는 값과 현재 상태의 차이인 오차가 발생했을 때 이 오차에 비례하여 제어 신호를 얼마나 강하게 내보낼지 결정하는 값입니다. K 값이 크다는 것은 오차에 민감하게 반응하여 목표값에 빠르게 다가가지만 너무 크면 시스템이 진동하며 불안정해질 수 있습니다.

Z(s)는 제어 대상이나 시스템 특정 요소의 전달 함수를 라플라스 변환으로 나타낸 수식입니다. 시간에 따른 복잡한 미분 방정식을 쉽게 계산하기 위해 복소 변수 s를 사용하여 주파수 영역으로 바꾼 것입니다.

2. 두 개념의 본질은 같습니다.
다만, 47페이지의 벡터 궤적은 부품 자체가 가진 주파수 특성을 관찰하는 개념이고, 제어 동작은 그 특성을 도구로 삼아 시스템을 원하는 대로 컨트롤 하는 개념입니다. 

3. 다른 의미입니다.
적분 요소는 입력된 오차 신호를 시간에 따라 누적하는 수학적인 연상 성질 그 자체를 의미합니다. 이는 제어 회로를 구성하는 개별적인 부품입니다. 반면에, 비례적분제어는 현재 상태에 반응하는 비례요소에 이 적분요소를 추가로 결합하여 만든 완성된 제어 방식입니다. 비례적분제어라는 큰 틀 안에 적분요소가 부분집합으로 속해 있는 형태입니다. 

4. 각각의 개념을 잘 숙지하신다면, 문제를 풀이하시는데 큰 어려움은 없을 것으로 사료 됩니다.